ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 489

Разложим данное выражение на множители. Сначала вынесем общий множитель $n$ за скобки: $$ n^3 + 3n^2 + 2n = n(n^2 + 3n + 2) $$ Разложим трехчлен в скобках на множители способом группировки, представив слагаемое $3n$ в виде $n + 2n$: $$ n^2 + 3n + 2 = n^2 + n + 2n + 2 = n(n + 1) + 2(n + 1) = (n + 1)(n + 2) $$ Тогда исходное выражение принимает вид: $$ n^3 + 3n^2 + 2n = n(n + 1)(n + 2) $$ Выражение $n(n + 1)(n + 2)$ представляет собой произведение трех последовательных натуральных чисел. 1. Среди любых двух последовательных натуральных чисел одно обязательно является четным, то есть делится на $2$. Значит, произведение $n(n + 1)(n + 2)$ делится на $2$. 2. Среди любых трех последовательных натуральных чисел одно обязательно делится на $3$. Значит, произведение $n(n + 1)(n + 2)$ делится на $3$. Так как числа $2$ и $3$ взаимно простые, а произведение делится и на $2$, и на $3$, то оно делится нацело на их произведение: $2 \cdot 3 = 6$. Следовательно, при всех натуральных значениях $n$ значение выражения $n^3 + 3n^2 + 2n$ делится нацело на $6$, что и требовалось доказать.