ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 491

Преобразуем данное выражение, сгруппировав слагаемые с одинаковыми основаниями: $$ 3^{n+2} - 2^{n+2} + 3^n - 2^n = (3^{n+2} + 3^n) - (2^{n+2} + 2^n) $$ Используя свойство степени $a^{n+m} = a^n \cdot a^m$, вынесем общие множители $3^n$ и $2^n$ за скобки в каждой группе: $$ 3^n \cdot (3^2 + 1) - 2^n \cdot (2^2 + 1) = 3^n \cdot (9 + 1) - 2^n \cdot (4 + 1) = 3^n \cdot 10 - 2^n \cdot 5 $$ Так как по условию $n$ — натуральное число, большее $1$ (то есть $n \ge 2$), показатель $n - 1$ является натуральным числом. Представим степень $2^n$ в виде произведения $2^{n-1} \cdot 2$: $$ 2^n \cdot 5 = 2^{n-1} \cdot 2 \cdot 5 = 2^{n-1} \cdot 10 $$ Подставим полученное произведение обратно в выражение и вынесем общий множитель $10$ за скобки: $$ 3^n \cdot 10 - 2^{n-1} \cdot 10 = 10 \cdot (3^n - 2^{n-1}) $$ При любом натуральном значении $n > 1$ значение выражения $(3^n - 2^{n-1})$ является целым числом. Следовательно, произведение $10 \cdot (3^n - 2^{n-1})$ делится на $10$ нацело, что и требовалось доказать.