ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 520

Упростим данное выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые: 1. Применим формулу разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ к первой части выражения: $$ (9n - 4)(9n + 4) = (9n)^2 - 4^2 = 81n^2 - 16 $$ 2. Выполним умножение многочленов во второй части выражения: $$ (8n - 2)(4n + 3) = 8n \cdot 4n + 8n \cdot 3 - 2 \cdot 4n - 2 \cdot 3 = 32n^2 + 24n - 8n - 6 = 32n^2 + 16n - 6 $$ 3. Раскроем скобки в третьей части выражения: $$ 5(6n + 9) = 30n + 45 $$ 4. Подставим полученные результаты в исходное выражение, учитывая знак «минус» перед вторым произведением: $$ (9n - 4)(9n + 4) - (8n - 2)(4n + 3) + 5(6n + 9) = (81n^2 - 16) - (32n^2 + 16n - 6) + (30n + 45) $$ $$ = 81n^2 - 16 - 32n^2 - 16n + 6 + 30n + 45 $$ Приведём подобные слагаемые: $$ = (81n^2 - 32n^2) + (-16n + 30n) + (-16 + 6 + 45) = 49n^2 + 14n + 35 $$ 5. Вынесем общий множитель $7$ за скобки: $$ 49n^2 + 14n + 35 = 7(7n^2 + 2n + 5) $$ При любом натуральном значении $n$ выражение $(7n^2 + 2n + 5)$ принимает натуральное значение. Так как один из множителей равен $7$, то и всё произведение $7(7n^2 + 2n + 5)$ делится нацело на $7$. Что и требовалось доказать.