ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 521

1) Применим свойство степени произведения $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$ и формулу разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$: $$ 3^{20} \cdot 6^{20} - (18^{10} - 2)(18^{10} + 2) = (3 \cdot 6)^{20} - \left((18^{10})^2 - 2^2\right) = 18^{20} - (18^{20} - 4) $$ Раскроем скобки: $$ 18^{20} - 18^{20} + 4 = 4 $$ Ответ: $4$. --- 2) Применим формулу разности квадратов $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ и свойство степени произведения: $$ (5 + 28^{17})(5 - 28^{17}) + 14^{34} \cdot 2^{34} = \left(5^2 - (28^{17})^2\right) + (14 \cdot 2)^{34} = (25 - 28^{34}) + 28^{34} $$ Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: $$ 25 - 28^{34} + 28^{34} = 25 $$ Ответ: $25$. --- 3) Представим основание степени $8$ как $2^3$, чтобы воспользоваться свойством степени степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $$ 8^{12} = (2^3)^{12} = 2^{36} $$ Тогда первое слагаемое примет вид: $$ 7^{36} \cdot 8^{12} = 7^{36} \cdot 2^{36} = (7 \cdot 2)^{36} = 14^{36} $$ Произведение в скобках свернём по формуле разности квадратов: $$ (14^{18} + 3)(14^{18} - 3) = (14^{18})^2 - 3^2 = 14^{36} - 9 $$ Подставим полученные результаты в исходное выражение: $$ 14^{36} - (14^{36} - 9) = 14^{36} - 14^{36} + 9 = 9 $$ Ответ: $9$. --- 4) Последовательно применим формулу разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ слева направо к парам скобок: $$ (3^2 - 1)(3^2 + 1) = (3^2)^2 - 1^2 = 3^4 - 1 $$ $$ (3^4 - 1)(3^4 + 1) = (3^4)^2 - 1^2 = 3^8 - 1 $$ $$ (3^8 - 1)(3^8 + 1) = (3^8)^2 - 1^2 = 3^{16} - 1 $$ $$ (3^{16} - 1)(3^{16} + 1) = (3^{16})^2 - 1^2 = 3^{32} - 1 $$ $$ (3^{32} - 1)(3^{32} + 1) = (3^{32})^2 - 1^2 = 3^{64} - 1 $$ Подставим полученный результат в выражение: $$ (3^{64} - 1) - 3^{64} = 3^{64} - 1 - 3^{64} = -1 $$ Ответ: $-1$. --- 5) Заметим, что значение выражения не изменится, если умножить первую скобку на $1$, которую можно записать как $(2 - 1)$: $$ (2 - 1)(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1) - 2^{32} $$ Последовательно сворачиваем скобки по формуле разности квадратов: $$ (2 - 1)(2 + 1) = 2^2 - 1 $$ $$ (2^2 - 1)(2^2 + 1) = 2^4 - 1 $$ $$ (2^4 - 1)(2^4 + 1) = 2^8 - 1 $$ $$ (2^8 - 1)(2^8 + 1) = 2^{16} - 1 $$ $$ (2^{16} - 1)(2^{16} + 1) = 2^{32} - 1 $$ Выполним вычитание: $$ (2^{32} - 1) - 2^{32} = 2^{32} - 1 - 2^{32} = -1 $$ Ответ: $-1$.