ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 522

1) В печатном издании учебника первым множителем является $81^{15}$ (в записи $8^{15}$ пропущена цифра $1$, так как иначе выражение не приводится к целому числу без громоздких вычислений). Решим пример для условия из учебника: $$ 81^{15} \cdot 8^{20} - (6^{30} + 1)(6^{30} - 1) $$ Применим формулу разности квадратов $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ ко второй части выражения: $$ (6^{30} + 1)(6^{30} - 1) = (6^{30})^2 - 1^2 = 6^{60} - 1 $$ Преобразуем первую часть выражения, представив основания степеней в виде степеней простых чисел: - $81^{15} = (3^4)^{15} = 3^{4 \cdot 15} = 3^{60}$; - $8^{20} = (2^3)^{20} = 2^{3 \cdot 20} = 2^{60}$. Используем свойство степени с одинаковым показателем $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$: $$ 81^{15} \cdot 8^{20} = 3^{60} \cdot 2^{60} = (3 \cdot 2)^{60} = 6^{60} $$ Подставим полученные результаты в исходное выражение: $$ 6^{60} - (6^{60} - 1) = 6^{60} - 6^{60} + 1 = 1 $$ *(Если же вычислять строго по записи $8^{15} \cdot 8^{20} - (6^{30} + 1)(6^{30} - 1)$, то получаем $8^{35} - 6^{60} + 1$, что не упрощается дальше).* 2) Рассмотри выражение: $$ 5^{24} - (5^3 - 2)(5^3 + 2)(5^6 + 4)(5^{12} + 16) $$ Последовательно применим формулу разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ для произведения скобок: 1. Перемножим первые две скобки: $$ (5^3 - 2)(5^3 + 2) = (5^3)^2 - 2^2 = 5^6 - 4 $$ 2. Умножим полученный результат на третью скобку: $$ (5^6 - 4)(5^6 + 4) = (5^6)^2 - 4^2 = 5^{12} - 16 $$ 3. Умножим результат на четвёртую скобку: $$ (5^{12} - 16)(5^{12} + 16) = (5^{12})^2 - 16^2 = 5^{24} - 256 $$ Подставим найденное произведение обратно в исходное выражение и раскроем скобки: $$ 5^{24} - (5^{24} - 256) = 5^{24} - 5^{24} + 256 = 256 $$ Ответ: 1) $1$; 2) $256$.