ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 582

1) Применим формулу квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $$ \left(0,02p^3k + 20p^2k^4\right)^2 = \left(0,02p^3k\right)^2 + 2 \cdot 0,02p^3k \cdot 20p^2k^4 + \left(20p^2k^4\right)^2 $$ Выполним возведение в степень и умножение: $$ = 0,0004p^6k^2 + 0,8p^5k^5 + 400p^4k^8 $$ 2) Переведем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{1}{6} = \frac{7}{6}$. Применим формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $$ \left(1\frac{1}{6}mn - \frac{4}{21}m^2n^5\right)^2 = \left(\frac{7}{6}mn - \frac{4}{21}m^2n^5\right)^2 = \left(\frac{7}{6}mn\right)^2 - 2 \cdot \frac{7}{6}mn \cdot \frac{4}{21}m^2n^5 + \left(\frac{4}{21}m^2n^5\right)^2 $$ Вычислим коэффициенты: * $\left(\frac{7}{6}\right)^2 = \frac{49}{36} = 1\frac{13}{36}$; * $2 \cdot \frac{7}{6} \cdot \frac{4}{21} = 2 \cdot \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 3} = \frac{4}{9}$; * $\left(\frac{4}{21}\right)^2 = \frac{16}{441}$. Получаем: $$ = \frac{49}{36}m^2n^2 - \frac{4}{9}m^3n^6 + \frac{16}{441}m^4n^{10} = 1\frac{13}{36}m^2n^2 - \frac{4}{9}m^3n^6 + \frac{16}{441}m^4n^{10} $$ 3) Сначала возведем двучлен в квадрат по формуле $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $$ -15\left(\frac{1}{3}a - \frac{1}{5}b\right)^2 = -15\left(\left(\frac{1}{3}a\right)^2 - 2 \cdot \frac{1}{3}a \cdot \frac{1}{5}b + \left(\frac{1}{5}b\right)^2\right) = -15\left(\frac{1}{9}a^2 - \frac{2}{15}ab + \frac{1}{25}b^2\right) $$ Раскроем скобки, умножив каждое слагаемое на $-15$: $$ = -15 \cdot \frac{1}{9}a^2 - (-15) \cdot \frac{2}{15}ab - 15 \cdot \frac{1}{25}b^2 = -\frac{5}{3}a^2 + 2ab - \frac{3}{5}b^2 = -1\frac{2}{3}a^2 + 2ab - \frac{3}{5}b^2 $$ 4) Возведем выражение в скобках в квадрат по формуле квадрата разности: $$ 7x\left(x^3 - 2x\right)^2 = 7x\left(\left(x^3\right)^2 - 2 \cdot x^3 \cdot 2x + (2x)^2\right) = 7x\left(x^6 - 4x^4 + 4x^2\right) $$ Умножим многочлен на одночлен $7x$: $$ = 7x \cdot x^6 - 7x \cdot 4x^4 + 7x \cdot 4x^2 = 7x^7 - 28x^5 + 28x^3 $$ 5) Раскроем квадрат разности $(5y - 2)^2$: $$ (5y - 2)^2(2y + 1) = \left((5y)^2 - 2 \cdot 5y \cdot 2 + 2^2\right)(2y + 1) = \left(25y^2 - 20y + 4\right)(2y + 1) $$ Перемножим два многочлена: $$ = 25y^2(2y + 1) - 20y(2y + 1) + 4(2y + 1) = 50y^3 + 25y^2 - 40y^2 - 20y + 8y + 4 $$ Приведем подобные слагаемые: $$ = 50y^3 - 15y^2 - 12y + 4 $$ 6) Воспользуемся свойством степени $a^2 b^2 = (ab)^2$ и формулой разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$: $$ (10p - k)^2(10p + k)^2 = ((10p - k)(10p + k))^2 = \left((10p)^2 - k^2\right)^2 = \left(100p^2 - k^2\right)^2 $$ Раскроем полученный квадрат разности: $$ = \left(100p^2\right)^2 - 2 \cdot 100p^2 \cdot k^2 + \left(k^2\right)^2 = 10\,000p^4 - 200p^2k^2 + k^4 $$