ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 591

Пусть первое натуральное число равно $n$. Тогда следующие за ним три последовательных натуральных числа равны $n + 1$, $n + 2$ и $n + 3$. Сумма квадратов второго и четвёртого чисел равна: $$ (n + 1)^2 + (n + 3)^2 $$ Сумма квадратов первого и третьего чисел равна: $$ n^2 + (n + 2)^2 $$ По условию задачи сумма квадратов второго и четвёртого чисел на $82$ больше суммы квадратов первого и третьего. Составим уравнение: $$ (n + 1)^2 + (n + 3)^2 - (n^2 + (n + 2)^2) = 82 $$ Применим формулу квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и раскроем скобки: $$ (n^2 + 2n + 1) + (n^2 + 6n + 9) - (n^2 + n^2 + 4n + 4) = 82 $$ Упростим выражения в скобках: $$ (2n^2 + 8n + 10) - (2n^2 + 4n + 4) = 82 $$ Раскроем скобки с учётом знаков: $$ 2n^2 + 8n + 10 - 2n^2 - 4n - 4 = 82 $$ Приведём подобные слагаемые: $$ 4n + 6 = 82 $$ $$ 4n = 82 - 6 $$ $$ 4n = 76 $$ $$ n = 76 : 4 $$ $$ n = 19 $$ Число $19$ является натуральным, следовательно: 1. Первое число: $n = 19$; 2. Второе число: $n + 1 = 19 + 1 = 20$; 3. Третье число: $n + 2 = 19 + 2 = 21$; 4. Четвёртое число: $n + 3 = 19 + 3 = 22$. Проверка: $$ 20^2 + 22^2 = 400 + 484 = 884 $$ $$ 19^2 + 21^2 = 361 + 441 = 802 $$ $$ 884 - 802 = 82 $$ Условие задачи выполняется. Ответ: 19, 20, 21, 22.