ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 731

1) Преобразуем левую часть тождества. Для этого представим выражение $(a + b + c)^3$ как $((a + b) + c)^3$ и применим формулу куба суммы двух выражений: $$ ((a + b) + c)^3 = (a + b)^3 + 3(a + b)^2c + 3(a + b)c^2 + c^3 $$ Подставим это выражение в левую часть: $$ ((a + b) + c)^3 - a^3 - b^3 - c^3 = (a + b)^3 + 3(a + b)^2c + 3(a + b)c^2 + c^3 - a^3 - b^3 - c^3 $$ Упростим выражение, сгруппировав слагаемые: $$ ((a + b)^3 - a^3 - b^3) + 3(a + b)c(a + b + c) $$ Раскроем $(a + b)^3$ по формуле куба суммы: $$ (a + b)^3 - a^3 - b^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 - a^3 - b^3 = 3a^2b + 3ab^2 = 3ab(a + b) $$ Теперь подставим полученный результат обратно: $$ 3ab(a + b) + 3(a + b)^2c + 3(a + b)c^2 $$ Вынесем общий множитель $3(a + b)$ за скобки: $$ 3(a + b) \bigl(ab + c(a + b) + c^2\bigr) = 3(a + b)(ab + ac + bc + c^2) $$ Разложим выражение во второй скобке на множители способом группировки: $$ ab + ac + bc + c^2 = a(b + c) + c(b + c) = (b + c)(a + c) $$ Таким образом, получаем: $$ 3(a + b)(b + c)(a + c) $$ Левая часть равна правой части. Тождество доказано. --- 2) Преобразуем левую часть тождества: $$ (a - b)^3 + (b - c)^3 - (a - c)^3 $$ Заметим, что $a - c = (a - b) + (b - c)$. Пусть $x = a - b$, а $y = b - c$. Тогда $a - c = x + y$, и выражение принимает вид: $$ x^3 + y^3 - (x + y)^3 $$ Применим формулу куба суммы $(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$: $$ x^3 + y^3 - (x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3) = x^3 + y^3 - x^3 - 3x^2y - 3xy^2 - y^3 $$ Приведем подобные слагаемые: $$ -3x^2y - 3xy^2 = -3xy(x + y) $$ Вернемся к исходным переменным, подставив вместо $x$, $y$ и $x + y$ выражения $(a - b)$, $(b - c)$ и $(a - c)$: $$ -3(a - b)(b - c)(a - c) $$ Левая часть равна правой части. Тождество доказано.