ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 741

Разложим выражение $n^4 + n^2 + 1$ на множители с помощью метода выделения полного квадрата и применения формулы разности квадратов: $$ n^4 + n^2 + 1 = (n^4 + 2n^2 + 1) - n^2 $$ $$ = (n^2 + 1)^2 - n^2 $$ $$ = (n^2 + 1 - n)(n^2 + 1 + n) $$ $$ = (n^2 - n + 1)(n^2 + n + 1) $$ Число является составным, если его можно представить в виде произведения двух натуральных чисел, каждое из которых строго больше 1. По условию $n$ — натуральное число, отличное от 1, следовательно, $n \ge 2$. Оценим каждый из множителей при $n \ge 2$: 1. Для первого множителя преобразуем выражение: $$ n^2 - n + 1 = n(n - 1) + 1 $$ Так как $n \ge 2$, то $n - 1 \ge 1$, а значит, произведение $n(n - 1) \ge 2 \cdot 1 = 2$. Отсюда получаем: $$ n^2 - n + 1 \ge 2 + 1 = 3 > 1 $$ 2. Для второго множителя: $$ n^2 + n + 1 \ge 2^2 + 2 + 1 = 7 > 1 $$ Таким образом, при любом натуральном $n \ne 1$ выражение $n^4 + n^2 + 1$ представляет собой произведение двух натуральных чисел $(n^2 - n + 1)$ и $(n^2 + n + 1)$, каждое из которых больше 1. Следовательно, значение выражения $n^4 + n^2 + 1$ является составным числом, что и требовалось доказать.