ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 738

Упростим данное выражение. Для этого применим формулу куба разности $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$: $$ (2n - 1)^3 = (2n)^3 - 3 \cdot (2n)^2 \cdot 1 + 3 \cdot 2n \cdot 1^2 - 1^3 = 8n^3 - 12n^2 + 6n - 1 $$ Подставим полученный результат в исходное выражение: $$ (2n - 1)^3 - 4n^2 + 2n + 1 = 8n^3 - 12n^2 + 6n - 1 - 4n^2 + 2n + 1 $$ Приведём подобные слагаемые: $$ 8n^3 + (-12n^2 - 4n^2) + (6n + 2n) + (-1 + 1) = 8n^3 - 16n^2 + 8n $$ Вынесем общий множитель $8n$ за скобки: $$ 8n^3 - 16n^2 + 8n = 8n(n^2 - 2n + 1) $$ Применим формулу квадрата разности $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$: $$ 8n(n^2 - 2n + 1) = 8n(n - 1)^2 = 8 \cdot (n - 1) \cdot n \cdot (n - 1) $$ Числа $(n - 1)$ и $n$ являются двумя последовательными целыми числами, следовательно, одно из них обязательно чётное (делится на $2$). Значит, произведение $n(n - 1)$ делится нацело на $2$. Таким образом, выражение $8 \cdot n(n - 1) \cdot (n - 1)$ делится на $8 \cdot 2 = 16$ при любом натуральном $n$. Что и требовалось доказать.