ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 843

Разложим данное выражение на множители с помощью формулы разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$: $$ (4n + 1)^2 - (n + 4)^2 = ((4n + 1) - (n + 4))((4n + 1) + (n + 4)) $$ Раскроем скобки внутри множителей и приведём подобные слагаемые: $$ (4n + 1 - n - 4)(4n + 1 + n + 4) = (3n - 3)(5n + 5) $$ Вынесем общие множители из каждой скобки: $$ 3(n - 1) \cdot 5(n + 1) = 15(n - 1)(n + 1) $$ По условию число $n$ является нечётным, следовательно, его можно представить в виде $n = 2k + 1$, где $k$ — целое число. Подставим это выражение вместо $n$: $$ 15((2k + 1) - 1)((2k + 1) + 1) = 15 \cdot 2k \cdot (2k + 2) = 15 \cdot 2k \cdot 2(k + 1) = 60k(k + 1) $$ Множители $k$ и $k + 1$ представляют собой два последовательных целых числа, поэтому одно из них обязательно является чётным (делится нацело на 2). Значит, произведение $k(k + 1)$ кратно 2. Так как произведение $k(k + 1)$ делится на 2, то всё выражение делится на: $$ 60 \cdot 2 = 120 $$ Следовательно, при любом нечётном значении $n$ значение выражения $(4n + 1)^2 - (n + 4)^2$ кратно 120, что и требовалось доказать.