ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 939

1) $x^2 + y^2 + 4 = 4y$ Перенесём слагаемое $4y$ в левую часть уравнения: $$ x^2 + y^2 - 4y + 4 = 0 $$ Сгруппируем слагаемые с переменной $y$ и применим формулу квадрата разности $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$: $$ x^2 + (y^2 - 4y + 4) = 0 $$ $$ x^2 + (y - 2)^2 = 0 $$ Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $x^2 \ge 0$ и $(y - 2)^2 \ge 0$. Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из слагаемых равно нулю: $$ \begin{cases} x = 0 \\ y - 2 = 0 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x = 0 \\ y = 2 \end{cases} $$ Ответ: $(0; 2)$. --- 2) $x^2 + y^2 + 2x - 6y + 10 = 0$ Представим число $10$ в виде суммы $1 + 9$ и сгруппируем слагаемые: $$ (x^2 + 2x + 1) + (y^2 - 6y + 9) = 0 $$ Свернём выражения в скобках по формулам квадрата суммы и квадрата разности: $$ (x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 0 $$ Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю только в том случае, когда каждое из них равно нулю: $$ \begin{cases} x + 1 = 0 \\ y - 3 = 0 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x = -1 \\ y = 3 \end{cases} $$ Ответ: $(-1; 3)$. --- 3) $x^2 + y^2 + x + y + 0,5 = 0$ Представим число $0,5$ в виде суммы $0,25 + 0,25$ и сгруппируем слагаемые с переменными $x$ и $y$: $$ (x^2 + x + 0,25) + (y^2 + y + 0,25) = 0 $$ Применим формулу квадрата суммы к каждой группе: $$ (x + 0,5)^2 + (y + 0,5)^2 = 0 $$ Сумма квадратов равна нулю, если оба выражения одновременно равны нулю: $$ \begin{cases} x + 0,5 = 0 \\ y + 0,5 = 0 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x = -0,5 \\ y = -0,5 \end{cases} $$ Ответ: $(-0,5; -0,5)$. --- 4) $9x^2 + y^2 + 2 = 6x$ Перенесём слагаемое $6x$ в левую часть уравнения: $$ 9x^2 - 6x + y^2 + 2 = 0 $$ Представим число $2$ как $1 + 1$ и выделим полный квадрат для переменной $x$: $$ (9x^2 - 6x + 1) + y^2 + 1 = 0 $$ $$ (3x - 1)^2 + y^2 + 1 = 0 $$ Перенесём свободное число $1$ в правую часть: $$ (3x - 1)^2 + y^2 = -1 $$ Поскольку $(3x - 1)^2 \ge 0$ и $y^2 \ge 0$ при любых действительных значениях $x$ и $y$, их сумма неотрицательна: $$ (3x - 1)^2 + y^2 \ge 0 $$ Следовательно, левая часть не может быть равна $-1$, и уравнение не имеет решений. Ответ: решений нет.