ГДЗ по Алгебре за 8 класс Макарычев, Миндюк, Нешков ответ на номер 86

### **Итоговый ответ:** а) $\dfrac{2b^2 - c^2}{b(b+c)}$ б) $\dfrac{6}{x(x-2)}$ в) $\dfrac{m^2 + n^2}{(m-n)(m+n)}$ или $\dfrac{m^2 + n^2}{m^2 - n^2}$ г) $\dfrac{4a^2 + 1}{(2a-1)(2a+1)}$ или $\dfrac{4a^2 + 1}{4a^2 - 1}$ д) $-\dfrac{4a}{(a+2)(a-2)}$ или $-\dfrac{4a}{a^2 - 4}$ е) $\dfrac{2p}{(3p-1)(3p+1)}$ или $\dfrac{2p}{9p^2 - 1}$ --- ### **Подробное решение:** Чтобы сложить или вычесть рациональные дроби с разными знаменателями, выполним следующие шаги: 1. Найдём общий знаменатель. 2. Определим дополнительные множители для каждой дроби. 3. Раскроем скобки в числителе, приведём подобные слагаемые и запишем результат в виде одной дроби. --- **а) $\dfrac{b-c}{b} + \dfrac{b}{b+c}$** * Общий знаменатель: $b(b+c)$. * Дополнительный множитель для первой дроби — $(b+c)$, для второй дроби — $b$. $$\dfrac{b-c}{b} + \dfrac{b}{b+c} = \dfrac{(b-c)(b+c) + b \cdot b}{b(b+c)}$$ Применяем формулу разности квадратов $(b-c)(b+c) = b^2 - c^2$: $$= \dfrac{b^2 - c^2 + b^2}{b(b+c)} = \dfrac{2b^2 - c^2}{b(b+c)}$$ --- **б) $\dfrac{x+1}{x-2} - \dfrac{x+3}{x}$** * Общий знаменатель: $x(x-2)$. * Дополнительный множитель для первой дроби — $x$, для второй дроби — $(x-2)$. $$\dfrac{x+1}{x-2} - \dfrac{x+3}{x} = \dfrac{x(x+1) - (x+3)(x-2)}{x(x-2)}$$ Раскрываем скобки в числителе (помня о знаке «минус» перед второй скобкой): $$= \dfrac{x^2 + x - (x^2 - 2x + 3x - 6)}{x(x-2)} = \dfrac{x^2 + x - (x^2 + x - 6)}{x(x-2)} = \dfrac{x^2 + x - x^2 - x + 6}{x(x-2)} = \dfrac{6}{x(x-2)}$$ --- **в) $\dfrac{m}{m-n} - \dfrac{n}{m+n}$** * Общий знаменатель: $(m-n)(m+n)$. * Дополнительный множитель для первой дроби — $(m+n)$, для второй дроби — $(m-n)$. $$\dfrac{m}{m-n} - \dfrac{n}{m+n} = \dfrac{m(m+n) - n(m-n)}{(m-n)(m+n)}$$ Раскрываем скобки: $$= \dfrac{m^2 + mn - mn + n^2}{(m-n)(m+n)} = \dfrac{m^2 + n^2}{(m-n)(m+n)} = \dfrac{m^2 + n^2}{m^2 - n^2}$$ --- **г) $\dfrac{2a}{2a-1} - \dfrac{1}{2a+1}$** * Общий знаменатель: $(2a-1)(2a+1)$. * Дополнительный множитель для первой дроби — $(2a+1)$, для второй дроби — $(2a-1)$. $$\dfrac{2a}{2a-1} - \dfrac{1}{2a+1} = \dfrac{2a(2a+1) - 1(2a-1)}{(2a-1)(2a+1)}$$ Раскрываем скобки: $$= \dfrac{4a^2 + 2a - 2a + 1}{(2a-1)(2a+1)} = \dfrac{4a^2 + 1}{(2a-1)(2a+1)} = \dfrac{4a^2 + 1}{4a^2 - 1}$$ --- **д) $\dfrac{a}{a+2} - \dfrac{a}{a-2}$** * Общий знаменатель: $(a+2)(a-2)$. * Дополнительный множитель для первой дроби — $(a-2)$, для второй дроби — $(a+2)$. $$\dfrac{a}{a+2} - \dfrac{a}{a-2} = \dfrac{a(a-2) - a(a+2)}{(a+2)(a-2)}$$ Раскрываем скобки: $$= \dfrac{a^2 - 2a - a^2 - 2a}{(a+2)(a-2)} = \dfrac{-4a}{(a+2)(a-2)} = -\dfrac{4a}{a^2 - 4}$$ --- **е) $\dfrac{p}{3p-1} - \dfrac{p}{1+3p}$** Переставим слагаемые во втором знаменателе для удобства: $1 + 3p = 3p + 1$. * Общий знаменатель: $(3p-1)(3p+1)$. * Дополнительный множитель для первой дроби — $(3p+1)$, для второй дроби — $(3p-1)$. $$\dfrac{p}{3p-1} - \dfrac{p}{3p+1} = \dfrac{p(3p+1) - p(3p-1)}{(3p-1)(3p+1)}$$ Раскрываем скобки: $$= \dfrac{3p^2 + p - 3p^2 + p}{(3p-1)(3p+1)} = \dfrac{2p}{(3p-1)(3p+1)} = \dfrac{2p}{9p^2 - 1}$$