ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк дидактические материалы упражнение / вариант 2 - 82

Упростим данное выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые: $$ (2x^6 - 4x^2 - 2) - (x - x^2 - 3) + (3x^2 + x) = 2x^6 - 4x^2 - 2 - x + x^2 + 3 + 3x^2 + x $$ Сгруппируем подобные слагаемые: $$ 2x^6 + (-4x^2 + x^2 + 3x^2) + (-x + x) + (-2 + 3) = 2x^6 + 0x^2 + 0x + 1 = 2x^6 + 1 $$ 1. Докажем, что полученное выражение принимает только положительные значения при любых значениях $x$: Так как показатель степени $6$ — чётное число, то при любом действительном значении $x$ выполняется неравенство: $$ x^6 \ge 0 $$ Умножив обе части неравенства на положительное число $2$, получим: $$ 2x^6 \ge 0 $$ Прибавим к обеим частям неравенства $1$: $$ 2x^6 + 1 \ge 1 $$ Так как $1 > 0$, то $2x^6 + 1 > 0$ при любых значениях $x$. Следовательно, исходное выражение принимает только положительные значения при любых значениях $x$, что и требовалось доказать. 2. Найдём наименьшее значение выражения: Поскольку $2x^6 \ge 0$, наименьшее возможное значение слагаемого $2x^6$ равно $0$, и оно достигается при $x = 0$. Тогда наименьшее значение всего выражения равно: $$ 2 \cdot 0^6 + 1 = 1 $$ Ответ: наименьшее значение выражения равно $1$ при $x = 0$.