ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 1179

Упростим данное выражение. Для этого раскроем квадрат трёхчлена: $$ (n^2 - 3n + 1)^2 = ((n^2 - 3n) + 1)^2 = (n^2 - 3n)^2 + 2(n^2 - 3n) \cdot 1 + 1^2 $$ $$ = n^4 - 6n^3 + 9n^2 + 2n^2 - 6n + 1 = n^4 - 6n^3 + 11n^2 - 6n + 1 $$ Подставим полученный результат в исходное выражение и приведём подобные слагаемые: $$ (n^2 - 3n + 1)^2 - n^4 - 8n^2 + 3n + 5 = n^4 - 6n^3 + 11n^2 - 6n + 1 - n^4 - 8n^2 + 3n + 5 $$ $$ = (n^4 - n^4) - 6n^3 + (11n^2 - 8n^2) + (-6n + 3n) + (1 + 5) $$ $$ = -6n^3 + 3n^2 - 3n + 6 $$ Сгруппируем слагаемые: $$ -6n^3 + 6 + (3n^2 - 3n) = -6(n^3 - 1) + 3n(n - 1) $$ Докажем, что полученная сумма делится на 6 при любом натуральном $n$: 1. Слагаемое $-6(n^3 - 1)$ делится на 6, так как содержит множитель $-6$. 2. В слагаемом $3n(n - 1)$ множители $(n - 1)$ и $n$ представляют собой два последовательных целых числа, поэтому одно из них обязательно чётное (делится на 2). Значит, произведение $n(n - 1)$ кратно 2, а произведение $3n(n - 1)$ кратно $3 \cdot 2 = 6$. Так как каждое слагаемое суммы делится на 6, то и всё выражение делится нацело на 6 при любом натуральном значении $n$. Что и требовалось доказать.