ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 1180

Упростим данное выражение. Для первых двух слагаемых применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, представив $16n^4$ как $(4n^2)^2$: $$ 16n^4 - (4n^2 - 2n - 1)^2 = (4n^2)^2 - (4n^2 - 2n - 1)^2 $$ $$ = (4n^2 - (4n^2 - 2n - 1))(4n^2 + (4n^2 - 2n - 1)) $$ $$ = (4n^2 - 4n^2 + 2n + 1)(4n^2 + 4n^2 - 2n - 1) $$ $$ = (2n + 1)(8n^2 - 2n - 1) $$ Раскроем скобки, перемножив многочлены: $$ (2n + 1)(8n^2 - 2n - 1) = 2n \cdot 8n^2 - 2n \cdot 2n - 2n \cdot 1 + 1 \cdot 8n^2 - 1 \cdot 2n - 1 \cdot 1 $$ $$ = 16n^3 - 4n^2 - 2n + 8n^2 - 2n - 1 = 16n^3 + 4n^2 - 4n - 1 $$ Подставим полученный результат в исходное выражение: $$ 16n^4 - (4n^2 - 2n - 1)^2 + 8n + 1 = (16n^3 + 4n^2 - 4n - 1) + 8n + 1 $$ Приведём подобные слагаемые: $$ = 16n^3 + 4n^2 + (-4n + 8n) + (-1 + 1) = 16n^3 + 4n^2 + 4n $$ Вынесем общий множитель $4$ за скобки: $$ = 4(4n^3 + n^2 + n) $$ Так как $n$ — натуральное число ($n \in \mathbb{N}$), то значение выражения в скобках $4n^3 + n^2 + n$ также является натуральным числом. Так как один из множителей полученного произведения равен $4$, то и всё значение выражения делится на $4$ без остатка (кратно $4$) при любом натуральном значении $n$, что и требовалось доказать.