ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 1184

Упростим данное выражение, раскрыв скобки: $$ (8n + 5)(2n + 1) - (4n + 1)^2 $$ 1. Выполним умножение многочленов: $(8n + 5)(2n + 1) = 16n^2 + 8n + 10n + 5 = 16n^2 + 18n + 5$. 2. Применим формулу квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $(4n + 1)^2 = (4n)^2 + 2 \cdot 4n \cdot 1 + 1^2 = 16n^2 + 8n + 1$. 3. Подставим полученные многочлены в исходное выражение и приведём подобные слагаемые: $$ (16n^2 + 18n + 5) - (16n^2 + 8n + 1) = 16n^2 + 18n + 5 - 16n^2 - 8n - 1 $$ $$ = (16n^2 - 16n^2) + (18n - 8n) + (5 - 1) = 10n + 4 $$ Проанализируем делимость полученного выражения $10n + 4$ на $5$: * Слагаемое $10n$ делится нацело на $5$ при любом натуральном $n$, так как $10n = 5 \cdot 2n$. * Слагаемое $4$ не делится нацело на $5$ (остаток равен $4$). Поскольку одно из слагаемых делится на $5$, а другое — нет, то их сумма $10n + 4$ при делении на $5$ всегда даёт остаток $4$, а значит, не делится нацело на $5$ ни при каком натуральном значении $n$. Следовательно, не существует натурального значения $n$, при котором значение данного выражения делилось бы нацело на $5$, что и требовалось доказать.