ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 237

1) $100^5 : 1000^2$ Представим основания степеней в виде степеней с основанием $10$: $100 = 10^2$, а $1000 = 10^3$. Используем правило возведения степени в степень $((a^m)^n = a^{m \cdot n})$ и деления степеней с одинаковыми основаниями $(a^m : a^n = a^{m - n})$: $$ 100^5 : 1000^2 = (10^2)^5 : (10^3)^2 = 10^{2 \cdot 5} : 10^{3 \cdot 2} = 10^{10} : 10^6 = 10^{10 - 6} = 10^4 = 10\,000 $$ 3) $\frac{4^3 \cdot 16^2}{2^{12}}$ Представим числа $4$ и $16$ в виде степеней с основанием $2$: $4 = 2^2$, а $16 = 2^4$. Преобразуем числитель дроби, применяя правила возведения степени в степень и умножения степеней с одинаковыми основаниями $(a^m \cdot a^n = a^{m + n})$: $$ \frac{4^3 \cdot 16^2}{2^{12}} = \frac{(2^2)^3 \cdot (2^4)^2}{2^{12}} = \frac{2^{2 \cdot 3} \cdot 2^{4 \cdot 2}}{2^{12}} = \frac{2^6 \cdot 2^8}{2^{12}} = \frac{2^{6 + 8}}{2^{12}} = \frac{2^{14}}{2^{12}} $$ Сократим дробь, используя свойство деления степеней: $$ \frac{2^{14}}{2^{12}} = 2^{14 - 12} = 2^2 = 4 $$ 2) $\frac{3^{10} \cdot (3^3)^5}{(3^5)^4 \cdot 3}$ Учтём, что $3 = 3^1$. Применим свойства степеней в числителе и знаменателе дроби: $$ \frac{3^{10} \cdot (3^3)^5}{(3^5)^4 \cdot 3} = \frac{3^{10} \cdot 3^{3 \cdot 5}}{3^{5 \cdot 4} \cdot 3^1} = \frac{3^{10} \cdot 3^{15}}{3^{20} \cdot 3^1} = \frac{3^{10 + 15}}{3^{20 + 1}} = \frac{3^{25}}{3^{21}} $$ Выполним деление степеней: $$ \frac{3^{25}}{3^{21}} = 3^{25 - 21} = 3^4 = 81 $$ 4) $\frac{45^{10}}{5^8 \cdot 3^{19}}$ Разложим основание числителя на простые множители: $45 = 5 \cdot 9 = 5 \cdot 3^2$. Применим свойство возведения произведения в степень $((a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n)$: $$ \frac{45^{10}}{5^8 \cdot 3^{19}} = \frac{(5 \cdot 3^2)^{10}}{5^8 \cdot 3^{19}} = \frac{5^{10} \cdot (3^2)^{10}}{5^8 \cdot 3^{19}} = \frac{5^{10} \cdot 3^{2 \cdot 10}}{5^8 \cdot 3^{19}} = \frac{5^{10} \cdot 3^{20}}{5^8 \cdot 3^{19}} $$ Выполним деление степеней с одинаковыми основаниями: $$ \frac{5^{10} \cdot 3^{20}}{5^8 \cdot 3^{19}} = 5^{10 - 8} \cdot 3^{20 - 19} = 5^2 \cdot 3^1 = 25 \cdot 3 = 75 $$ Ответ: 1) $10\,000$; 3) $4$; 2) $81$; 4) $75$.