ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 646

1) Выделим полный квадрат двучлена: $$ x^2 - 6x + 10 = (x^2 - 2 \cdot 3 \cdot x + 9) + 1 = (x - 3)^2 + 1 $$ Так как квадрат любого выражения неотрицателен, то есть $(x - 3)^2 \ge 0$ при любом значении $x$, то: $$ (x - 3)^2 + 1 \ge 1 $$ Так как $1 > 0$, данное выражение принимает положительные значения при всех значениях $x$. Наименьшее значение выражения достигается, когда $(x - 3)^2 = 0$, то есть при $x = 3$. Это значение равно $1$. **Ответ:** наименьшее значение равно $1$ при $x = 3$. --- 2) Выделим полный квадрат двучлена: $$ 16x^2 + 24x + 25 = ((4x)^2 + 2 \cdot 4x \cdot 3 + 9) + 16 = (4x + 3)^2 + 16 $$ Так как $(4x + 3)^2 \ge 0$ при любом значении $x$, то: $$ (4x + 3)^2 + 16 \ge 16 $$ Так как $16 > 0$, данное выражение принимает положительные значения при всех значениях $x$. Наименьшее значение выражения достигается при $(4x + 3)^2 = 0$: $$ 4x + 3 = 0 $$ $$ 4x = -3 $$ $$ x = -0{,}75 $$ При $x = -0{,}75$ наименьшее значение равно $16$. **Ответ:** наименьшее значение равно $16$ при $x = -0{,}75$ (или $x = -\frac{3}{4}$). --- 3) Выделим полный квадрат двучлена: $$ x^2 + x + 1 = \left(x^2 + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot x + \frac{1}{4}\right) + \frac{3}{4} = \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} $$ Так как $\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 \ge 0$ при любом значении $x$, то: $$ \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4} $$ Так как $\frac{3}{4} > 0$, данное выражение принимает положительные значения при всех значениях $x$. Наименьшее значение выражения достигается при $\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 = 0$: $$ x + \frac{1}{2} = 0 $$ $$ x = -\frac{1}{2} $$ При $x = -\frac{1}{2}$ наименьшее значение равно $\frac{3}{4}$. **Ответ:** наименьшее значение равно $\frac{3}{4}$ (или $0{,}75$) при $x = -\frac{1}{2}$ (или $x = -0{,}5$).