ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 949

Запишем первое выражение в виде произведения двух одинаковых скобок: $$ (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot 999 \cdot 1000)^2 = (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot 1000) \cdot (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot 1000) $$ Во второй скобке запишем множители в обратном порядке: $$ (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot 1000) \cdot (1000 \cdot 999 \cdot \dots \cdot 2 \cdot 1) $$ Сгруппируем множители попарно (первый с первым, второй со вторым и так далее): $$ (1 \cdot 1000) \cdot (2 \cdot 999) \cdot (3 \cdot 998) \cdot \dots \cdot (999 \cdot 2) \cdot (1000 \cdot 1) $$ Всего получилось $1000$ пар множителей. Оценим значение каждой пары: 1. Первая и последняя пары равны $1000$: $1 \cdot 1000 = 1000$ и $1000 \cdot 1 = 1000$. 2. Рассмотрим любую другую пару множителей вида $k \cdot (1001 - k)$, где $2 \le k \le 999$. Сумма чисел в каждой такой паре равна $k + (1001 - k) = 1001$. Так как оба множителя натуральные и больше либо равны $2$, меньший из них не меньше $2$, а больший — не меньше $501$ (иначе их сумма была бы не больше $500 + 500 = 1000$). Следовательно: $$ k \cdot (1001 - k) \ge 2 \cdot 501 = 1002 > 1000 $$ Таким образом, среди $1000$ сгруппированных пар: * две пары равны $1000$; * остальные $998$ пар строго больше $1000$. Перемножив эти $1000$ выражений, получим число, строго большее, чем произведение тысячи чисел $1000$: $$ (1 \cdot 1000) \cdot (2 \cdot 999) \cdot \dots \cdot (1000 \cdot 1) > \underbrace{1000 \cdot 1000 \cdot \dots \cdot 1000}_{1000 \text{ множителей}} = 1000^{1000} $$ Следовательно: $$ (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot 999 \cdot 1000)^2 > 1000^{1000} $$ Ответ: $(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot 999 \cdot 1000)^2 > 1000^{1000}$.