ГДЗ по Алгебре за 8 класс Макарычев, Миндюк, Нешков ответ на номер 59

### Ответ а) $-x - 4$ (или $-(x + 4)$) б) $5 - a$ в) $\dfrac{3}{a + b}$ г) $\dfrac{1}{x - 8}$ д) $\dfrac{7a - b}{(a - b)^2}$ е) $\dfrac{2(x - 5y)}{(x + y)^2}$ *(если в первой дроби знак «$+$», т. е. $13x + 6y$, то ответ: $\dfrac{2}{x + y}$)* --- ### Пошаговое решение При сложении и вычитании рациональных дробей с одинаковыми знаменателями выполняются действия над их числителями, а знаменатель остаётся прежним: $$\frac{A}{C} \pm \frac{B}{C} = \frac{A \pm B}{C}$$ После объединения дробей числитель и знаменатель раскладываются на множители (с помощью формул сокращённого умножения или вынесения общего множителя за скобки), чтобы по возможности сократить дробь. --- **а)** $\dfrac{16}{x - 4} - \dfrac{x^2}{x - 4}$ 1. Вычитаем числители под общим знаменателем: $$\frac{16 - x^2}{x - 4}$$ 2. Раскладываем числитель по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$: $$\frac{(4 - x)(4 + x)}{x - 4}$$ 3. Чтобы сократить дробь, вынесем знак «минус» из скобки $(4 - x)$, получив $-(x - 4)$: $$\frac{-(x - 4)(4 + x)}{x - 4} = -(4 + x) = -x - 4$$ --- **б)** $\dfrac{25}{a + 5} - \dfrac{a^2}{a + 5}$ 1. Записываем под единую дробную черту: $$\frac{25 - a^2}{a + 5}$$ 2. Раскладываем числитель как разность квадратов: $$\frac{(5 - a)(5 + a)}{a + 5}$$ 3. Сокращаем на общий множитель $(a + 5)$: $$5 - a$$ --- **в)** $\dfrac{3a - 1}{a^2 - b^2} - \dfrac{3b - 1}{a^2 - b^2}$ 1. Объединяем числители (внимание на знак перед скобкой при вычитании): $$\frac{(3a - 1) - (3b - 1)}{a^2 - b^2} = \frac{3a - 1 - 3b + 1}{a^2 - b^2} = \frac{3a - 3b}{a^2 - b^2}$$ 2. В числителе выносим общий множитель $3$ за скобки, а знаменатель раскладываем по формуле разности квадратов: $$\frac{3(a - b)}{(a - b)(a + b)}$$ 3. Сокращаем дробь на $(a - b)$: $$\frac{3}{a + b}$$ --- **г)** $\dfrac{x - 3}{x^2 - 64} + \dfrac{11}{x^2 - 64}$ 1. Складываем числители: $$\frac{x - 3 + 11}{x^2 - 64} = \frac{x + 8}{x^2 - 64}$$ 2. Раскладываем знаменатель по формуле разности квадратов ($64 = 8^2$): $$\frac{x + 8}{(x - 8)(x + 8)}$$ 3. Сокращаем на $(x + 8)$: $$\frac{1}{x - 8}$$ --- **д)** $\dfrac{2a + b}{(a - b)^2} - \dfrac{2b - 5a}{(a - b)^2}$ 1. Вычитаем числители, не забывая поменять знаки у второго выражения: $$\frac{(2a + b) - (2b - 5a)}{(a - b)^2} = \frac{2a + b - 2b + 5a}{(a - b)^2}$$ 2. Приводим подобные слагаемые в числителе: $$\frac{(2a + 5a) + (b - 2b)}{(a - b)^2} = \frac{7a - b}{(a - b)^2}$$ --- **е)** $\dfrac{13x - 6y}{(x + y)^2} - \dfrac{11x + 4y}{(x + y)^2}$ 1. Вычитаем числители: $$\frac{(13x - 6y) - (11x + 4y)}{(x + y)^2} = \frac{13x - 6y - 11x - 4y}{(x + y)^2}$$ 2. Приводим подобные слагаемые: $$\frac{2x - 10y}{(x + y)^2} = \frac{2(x - 5y)}{(x + y)^2}$$ *(Примечание: в классических изданиях учебника в первом слагаемом часто стоит плюс: $\dfrac{13x + 6y}{(x+y)^2} - \dfrac{11x + 4y}{(x+y)^2} = \dfrac{2x + 2y}{(x+y)^2} = \dfrac{2(x+y)}{(x+y)^2} = \dfrac{2}{x+y}$).*