ГДЗ по Алгебре за 8 класс Макарычев, Миндюк, Нешков ответ на номер 60

### Ответ Оба утверждения доказаны: * **а)** $\dfrac{(a+b)^2}{ab} - \dfrac{(a-b)^2}{ab} = 4$ при всех допустимых значениях переменных ($a \neq 0$, $b \neq 0$); * **б)** $\dfrac{(a+b)^2}{a^2+b^2} + \dfrac{(a-b)^2}{a^2+b^2} = 2$ при всех допустимых значениях переменных ($a^2+b^2 \neq 0$). --- ### Доказательство Для доказательства тождеств выполним алгебраические преобразования левой части каждого выражения, используя формулы сокращённого умножения: * Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ * Квадрат разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ --- #### **а) Докажем, что $\dfrac{(a+b)^2}{ab} - \dfrac{(a-b)^2}{ab} = 4$** 1. Так как дроби имеют одинаковый знаменатель $ab$, запишем разность под общей дробной чертой: $$\frac{(a+b)^2 - (a-b)^2}{ab}$$ 2. Раскроем скобки в числителе по формулам квадрата суммы и квадрата разности (обращая внимание на знак «минус» перед второй скобкой): $$\frac{(a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2)}{ab} = \frac{a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2}{ab}$$ 3. Приведём подобные слагаемые в числителе: $$\frac{(a^2 - a^2) + (b^2 - b^2) + (2ab + 2ab)}{ab} = \frac{4ab}{ab}$$ 4. Сократим дробь на общий множитель $ab$: $$\frac{4ab}{ab} = 4$$ Получили $4 = 4$. **Тождество доказано.** --- #### **б) Докажем, что $\dfrac{(a+b)^2}{a^2+b^2} + \dfrac{(a-b)^2}{a^2+b^2} = 2$** 1. Так как знаменатели дробей одинаковы ($a^2+b^2$), объединим их в одну дробь: $$\frac{(a+b)^2 + (a-b)^2}{a^2+b^2}$$ 2. Раскроем скобки в числителе: $$\frac{a^2 + 2ab + b^2 + a^2 - 2ab + b^2}{a^2+b^2}$$ 3. Приведём подобные слагаемые в числителе (слагаемые $2ab$ и $-2ab$ взаимно уничтожаются): $$\frac{(a^2 + a^2) + (b^2 + b^2) + (2ab - 2ab)}{a^2+b^2} = \frac{2a^2 + 2b^2}{a^2+b^2}$$ 4. Вынесем общий множитель $2$ за скобки в числителе и сократим дробь на $(a^2+b^2)$: $$\frac{2(a^2 + b^2)}{a^2+b^2} = 2$$ Получили $2 = 2$. **Тождество доказано.**