ГДЗ по Алгебре за 8 класс Макарычев, Миндюк, Нешков ответ на номер 75

### Ответ **а)** $\dfrac{3x + 2y}{6}$ **б)** $\dfrac{3c - d}{12}$ **в)** $\dfrac{a^2 - b^3}{ab}$ **г)** $\dfrac{5}{6x}$ **д)** $\dfrac{7x}{8y}$ **е)** $\dfrac{y}{72c}$ **ж)** $-\dfrac{3}{25a}$ *(с учётом стандартного условия учебника $\dfrac{1}{5a} - \dfrac{8}{25a}$; если в условии именно буква $f$, то $\dfrac{5a - 8f}{25af}$)* **з)** $\dfrac{3b^2 + 2c^2}{4bc}$ --- ### Решение и объяснение Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, необходимо: 1. Найти наименьший общий знаменатель. 2. Найти дополнительные множители для каждой дроби. 3. Умножить числители на дополнительные множители и выполнить сложение или вычитание. 4. При возможности сократить полученную дробь. --- **а)** $\dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{3}$ * Общий знаменатель чисел $2$ и $3$ равен $6$. * Дополнительный множитель для первой дроби — $3$, для второй — $2$: $$\dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{3} = \dfrac{3 \cdot x}{6} + \dfrac{2 \cdot y}{6} = \dfrac{3x + 2y}{6}$$ --- **б)** $\dfrac{c}{4} - \dfrac{d}{12}$ * Общий знаменатель чисел $4$ и $12$ равен $12$. * Дополнительный множитель для первой дроби — $3$, для второй — $1$: $$\dfrac{c}{4} - \dfrac{d}{12} = \dfrac{3 \cdot c}{12} - \dfrac{d}{12} = \dfrac{3c - d}{12}$$ --- **в)** $\dfrac{a}{b} - \dfrac{b^2}{a}$ * Общий знаменатель равен $ab$. * Дополнительный множитель для первой дроби — $a$, для второй — $b$: $$\dfrac{a}{b} - \dfrac{b^2}{a} = \dfrac{a \cdot a}{ab} - \dfrac{b^2 \cdot b}{ab} = \dfrac{a^2 - b^3}{ab}$$ --- **г)** $\dfrac{3}{2x} - \dfrac{2}{3x}$ * Наименьший общий знаменатель равен $6x$. * Дополнительный множитель для первой дроби — $3$, для второй — $2$: $$\dfrac{3}{2x} - \dfrac{2}{3x} = \dfrac{3 \cdot 3}{6x} - \dfrac{2 \cdot 2}{6x} = \dfrac{9 - 4}{6x} = \dfrac{5}{6x}$$ --- **д)** $\dfrac{5x}{8y} + \dfrac{x}{4y}$ * Общий знаменатель равен $8y$. * Дополнительный множитель для второй дроби — $2$: $$\dfrac{5x}{8y} + \dfrac{x}{4y} = \dfrac{5x}{8y} + \dfrac{2 \cdot x}{8y} = \dfrac{5x + 2x}{8y} = \dfrac{7x}{8y}$$ --- **е)** $\dfrac{17y}{24c} - \dfrac{25y}{36c}$ * Найдём наименьшее общее кратное для коэффициентов $24$ и $36$: $\text{НОК}(24, 36) = 72$. Общий знаменатель равен $72c$. * Дополнительный множитель для первой дроби — $3$ ($72 : 24 = 3$), для второй — $2$ ($72 : 36 = 2$): $$\dfrac{17y}{24c} - \dfrac{25y}{36c} = \dfrac{17y \cdot 3}{72c} - \dfrac{25y \cdot 2}{72c} = \dfrac{51y - 50y}{72c} = \dfrac{y}{72c}$$ --- **ж)** $\dfrac{1}{5a} - \dfrac{8}{25a}$ *(Примечание: в школьном учебнике Макарычева в первой дроби стоит буква $a$, соответствующая клавише «f» на клавиатуре).* * Общий знаменатель равен $25a$. * Дополнительный множитель для первой дроби — $5$: $$\dfrac{1}{5a} - \dfrac{8}{25a} = \dfrac{5 \cdot 1}{25a} - \dfrac{8}{25a} = \dfrac{5 - 8}{25a} = \dfrac{-3}{25a} = -\dfrac{3}{25a}$$ --- **з)** $\dfrac{3b}{4c} + \dfrac{c}{2b}$ * Наименьший общий знаменатель равен $4bc$. * Дополнительный множитель для первой дроби — $b$, для второй — $2c$: $$\dfrac{3b}{4c} + \dfrac{c}{2b} = \dfrac{3b \cdot b}{4bc} + \dfrac{c \cdot 2c}{4bc} = \dfrac{3b^2 + 2c^2}{4bc}$$