ГДЗ по Алгебре за 8 класс Макарычев, Миндюк, Нешков ответ на номер 80

### Ответ а) $\dfrac{a + b + c}{abc}$ б) $b - a$ в) $0$ г) $\dfrac{a}{b}$ --- ### Подробное решение Чтобы сложить или вычесть рациональные дроби с разными знаменателями, необходимо: 1. Найти наименьший общий знаменатель. 2. Определить дополнительные множители для каждой дроби. 3. Умножить числители на их дополнительные множители и записать результат под одной дробной чертой. 4. Раскрыть скобки, привести подобные слагаемые в числителе и, если возможно, сократить полученную дробь. --- #### а) $\dfrac{1}{ab} + \dfrac{1}{ac} + \dfrac{1}{bc}$ 1. Общий знаменатель для дробей со знаменателями $ab$, $ac$ и $bc$ равен $abc$. 2. Дополнительный множитель для первой дроби — $c$, для второй — $b$, для третьей — $a$. 3. Приводим к общему знаменателю: $$\frac{1 \cdot c}{ab \cdot c} + \frac{1 \cdot b}{ac \cdot b} + \frac{1 \cdot a}{bc \cdot a} = \frac{c + b + a}{abc} = \frac{a + b + c}{abc}$$ --- #### б) $\dfrac{ab - b}{a} - \dfrac{ab - a}{b} - \dfrac{a^2 - b^2}{ab}$ 1. Общий знаменатель равен $ab$. 2. Дополнительный множитель для первой дроби — $b$, для второй — $a$, для третьей — $1$. 3. Записываем выражение под общей чертой: $$\frac{b(ab - b) - a(ab - a) - (a^2 - b^2)}{ab}$$ 4. Раскрываем скобки в числителе (обращая внимание на знаки «минус» перед дробями): $$\frac{ab^2 - b^2 - a^2b + a^2 - a^2 + b^2}{ab}$$ 5. Приводим подобные слагаемые: * $-b^2 + b^2 = 0$ * $a^2 - a^2 = 0$ Остаётся: $$\frac{ab^2 - a^2b}{ab}$$ 6. Выносим общий множитель $ab$ в числителе и сокращаем дробь: $$\frac{ab(b - a)}{ab} = b - a$$ --- #### в) $\dfrac{b - a}{ab} + \dfrac{c - b}{bc} - \dfrac{c - a}{ac}$ 1. Общий знаменатель равен $abc$. 2. Дополнительные множители: для первой дроби — $c$, для второй — $a$, для третьей — $b$. 3. Записываем под одной дробной чертой: $$\frac{c(b - a) + a(c - b) - b(c - a)}{abc}$$ 4. Раскрываем скобки в числителе: $$\frac{bc - ac + ac - ab - bc + ab}{abc}$$ 5. Приводим подобные слагаемые: * $bc - bc = 0$ * $-ac + ac = 0$ * $-ab + ab = 0$ $$\frac{0}{abc} = 0$$ --- #### г) $\dfrac{3ab + 2b^2}{ab} - \dfrac{a + 2b}{a} + \dfrac{a - 2b}{b}$ 1. Общий знаменатель равен $ab$. 2. Дополнительные множители: для первой дроби — $1$, для второй — $b$, для третьей — $a$. 3. Записываем под общей чертой: $$\frac{(3ab + 2b^2) - b(a + 2b) + a(a - 2b)}{ab}$$ 4. Раскрываем скобки: $$\frac{3ab + 2b^2 - ab - 2b^2 + a^2 - 2ab}{ab}$$ 5. Приводим подобные слагаемые в числителе: * Слагаемые с $ab$: $3ab - ab - 2ab = 0$ * Слагаемые с $b^2$: $2b^2 - 2b^2 = 0$ * Слагаемое $a^2$ остаётся. $$\frac{a^2}{ab}$$ 6. Сокращаем полученную дробь на $a$: $$\frac{a}{b}$$